Razlika između Power serije i Taylor serije

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 13:33

Power Series vs Taylor Series

U matematici, realni niz je uređena lista realnih brojeva. Formalno, to je funkcija iz skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva. Ako je a_n n^th termin niza, označavamo niz sa ili sa ₁, a ₂, …, a_n, …. Na primjer, razmotrite niz 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Može se označiti kao {1/n}.}

Moguće je definirati niz pomoću sekvenci. Niz je zbir članova niza. Stoga, za svaki niz postoji pridruženi niz i obrnuto. Ako je {a_{n} sekvenca koja se razmatra, tada se niz formiran tim nizom može predstaviti kao:}

Dakle, u gornjem primjeru, pridružena serija je 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Kao što nazivi sugerišu, stepen stepena je posebna vrsta niza i intenzivno se koristi u numeričkoj analizi i srodnom matematičkom modeliranju. Taylor serija je posebna power serija koja pruža alternativni način predstavljanja dobro poznatih funkcija i lak za manipulaciju.

Šta je Power serija?

Serija moći je niz oblika

koji je konvergentan (moguće) za neki interval sa središtem na c. Koeficijenti a_{nmogu biti realni ili kompleksni brojevi i nezavisni su od x; tj. lažna varijabla.}

Na primjer, postavljanjem a_n=1 za svako n, i c=0, niz stepena 1+x+x² +…..+ x^{+… se dobija. Lako je zapaziti da kada je x ε (-1, 1), ovaj niz stepena konvergira na 1/(1-x).}

A niz stepena konvergira kada je x=c. Ostale vrijednosti x za koje se niz stepena konvergira uvijek će imati oblik otvorenog intervala sa središtem na c. Odnosno, postojaće vrednost 0≤ R ≤ ∞ takva da je za svaki x koji zadovoljava |x-c|≤ R, red stepena konvergentan i za svaki x koji zadovoljava |x-c|> R, red stepena je divergentan. Ova vrijednost R se naziva radijus konvergencije niza stepena (R može uzeti bilo koju realnu vrijednost ili pozitivnu beskonačnost).

Power nizovi se mogu dodavati, oduzimati, množiti i dijeliti koristeći sljedeća pravila. Razmotrite dva niza stepena:

Onda,

tj. slični termini se sabiraju ili oduzimaju. Također, moguće je pomnožiti i podijeliti dva niza stepena koristeći identitet,

Šta je Taylor serija?

Taylorov red je definiran za funkciju f (x) koja je beskonačno diferencibilna na intervalu. Pretpostavimo da je f (x) diferencibilan na intervalu sa centrom na c. Zatim stepen stepena koji je dat sa

naziva se proširenje funkcije f (x) oko c. (Ovdje f⁽ⁿ⁾ (c) označava n^{th derivat na x=c). U numeričkoj analizi, konačan broj pojmova u ovoj beskonačnoj ekspanziji se koristi za izračunavanje vrijednosti u tačkama u kojima je niz konvergentan originalnoj funkciji.}

A funkcija f (x) se kaže da je analitička u intervalu (a, b), ako za svako x ε (a, b), Taylorov red od f (x) konvergira funkciji f (x). Na primjer, 1/(1-x) je analitičan na (-1, 1), budući da je njegova Taylorova ekspanzija 1+x+x²+….+ x ^{+… konvergira funkciji na tom intervalu, a e}x ^{je svuda analitičan, pošto Taylor serija e}x ^{konvergira u e} x ^{za svaki realni broj x.}

Koja je razlika između Power serije i Taylor serije?

1. Tejlorov red je posebna klasa stepena redova definisanih samo za funkcije koje su beskonačno diferencibilne na nekom otvorenom intervalu.

2. Taylor serije imaju poseban oblik

dok potencijski niz može biti bilo koji niz oblika