Diferencijacija u odnosu na derivat
U diferencijalnom računu, izvod i diferencijacija su usko povezani, ali veoma različiti, i koriste se za predstavljanje dva važna matematička koncepta vezana za funkcije.
Šta je derivat?
Derivat funkcije mjeri brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kako se mijenja njen ulaz. U funkcijama s više varijabli, promjena vrijednosti funkcije ovisi o smjeru promjene vrijednosti nezavisnih varijabli. Stoga se u takvim slučajevima bira određeni smjer i funkcija se diferencira u tom određenom smjeru. Ta derivacija se naziva usmjerena derivacija. Parcijalni derivati su posebna vrsta usmjerenih derivata.
Derivat vektorske funkcije f može se definirati kao granica [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] gdje god postoji konačno. Kao što je već spomenuto, ovo nam daje brzinu povećanja funkcije f duž smjera vektora u. U slučaju jednovrijedne funkcije, ovo se svodi na dobro poznatu definiciju izvoda, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Na primjer, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je svuda diferencibilan, a izvod je jednak granici, [latex]\\lim_{h \\do 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], što je jednako [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivati funkcija kao što su [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] postoje svuda. One su respektivno jednake funkcijama [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Ovo je poznato kao prvi derivat. Obično se prvi izvod funkcije f označava sa f (1) Sada koristeći ovu notaciju, moguće je definirati derivate višeg reda. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je usmjerena izvedenica drugog reda i označava n th derivat sa f (n) za svaki n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definiše n th derivat.
Šta je diferencijacija?
Diferencijacija je proces pronalaženja derivacije diferencijabilne funkcije. D-operator označen sa D predstavlja diferencijaciju u nekim kontekstima. Ako je x nezavisna varijabla, onda je D ≡ d/dx. D-operator je linearni operator, tj. za bilo koje dvije diferencibilne funkcije f i g i konstantu c, vrijede slijedeća svojstva.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Upotrebom D-operatora, ostala pravila povezana s diferencijacijom mogu se izraziti na sljedeći način. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 i D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Na primjer, kada se F(x)=x 2sin x razlikuje u odnosu na x korištenjem datih pravila, odgovor će biti 2 x sin x + x2cos x.
Koja je razlika između diferencijacije i derivata?• Derivat se odnosi na stopu promjene funkcije • Diferencijacija je proces pronalaženja derivacije funkcije. |
