Derivat vs diferencijal
U diferencijalnom računu, derivacija i diferencijal funkcije su usko povezani, ali imaju veoma različita značenja i koriste se za predstavljanje dva važna matematička objekta povezana sa diferencijabilnim funkcijama.
Šta je derivat?
Derivat funkcije mjeri brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kako se mijenja njen ulaz. U funkcijama s više varijabli, promjena vrijednosti funkcije ovisi o smjeru promjene vrijednosti nezavisnih varijabli. Stoga se u takvim slučajevima bira određeni smjer i funkcija se diferencira u tom određenom smjeru. Ta derivacija se naziva usmjerena derivacija. Parcijalni derivati su posebna vrsta usmjerenih derivata.
Derivat vektorske funkcije f može se definirati kao granica [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] gdje god postoji konačno. Kao što je već spomenuto, ovo nam daje brzinu povećanja funkcije f duž smjera vektora u. U slučaju jednovrijedne funkcije, ovo se svodi na dobro poznatu definiciju izvoda, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Na primjer, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je svuda diferencibilan, a izvod je jednak granici, [latex]\\lim_{h \\do 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], što je jednako [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivati funkcija kao što su [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] postoje svuda. One su respektivno jednake funkcijama [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Ovo je poznato kao prvi derivat. Obično se prvi izvod funkcije f označava sa f (1) Sada koristeći ovu notaciju, moguće je definirati derivate višeg reda. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je usmjerena izvedenica drugog reda i označava n th derivat sa f (n) za svaki n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definiše n th derivat.
Šta je diferencijal?
Diferencijal funkcije predstavlja promjenu funkcije u odnosu na promjene nezavisne varijable ili varijabli. U uobičajenom zapisu, za datu funkciju f jedne varijable x, ukupni diferencijal reda 1 df je dat sa, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. To znači da će za beskonačno malu promjenu x (tj. d x), doći do f (1)(x)d x promjene u f.
Upotrebom ograničenja može se završiti sa ovom definicijom na sljedeći način. Pretpostavimo da je ∆ x promjena x u proizvoljnoj tački x i ∆ f odgovarajuća promjena funkcije f. Može se pokazati da je ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, gdje je ϵ greška. Sada, granica ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (koristeći prethodno navedenu definiciju derivacije) i na taj način, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Stoga je moguće zaključiti da je ∆ x→ 0 ϵ=0. Sada, označavajući ∆ x→ 0 ∆ f kao d f i ∆ x→ 0 ∆ x kao d x, definicija diferencijala je rigorozno dobijena.
Na primjer, razlika funkcije [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
U slučaju funkcija od dvije ili više varijabli, ukupni diferencijal funkcije je definiran kao zbir razlika u smjerovima svake od nezavisnih varijabli. Matematički se može navesti kao [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\parcijalni f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Koja je razlika između derivacije i diferencijala?
• Derivat se odnosi na stopu promjene funkcije dok se diferencijal odnosi na stvarnu promjenu funkcije, kada je nezavisna varijabla podvrgnuta promjeni.
• Izvod je dat sa [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], ali razlika je data sa [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
