Derivat vs integral
Diferencijacija i integracija su dvije osnovne operacije u Računu. Imaju brojne primjene u nekoliko oblasti, kao što su matematika, inženjerstvo i fizika. I derivacija i integral raspravljaju o ponašanju funkcije ili ponašanja fizičkog entiteta koji nas zanima.
Šta je derivat?
Pretpostavimo da je y=ƒ(x) i x0 u domeni ƒ. Tada limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx se naziva trenutna brzina promjene ƒ na x0, pod uvjetom da ova granica postoji konačno. Ova granica se također naziva derivat at i označava se sa ƒ(x).
Vrijednost derivacije funkcije f u proizvoljnoj tački x u domeni funkcije je data sa limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Ovo je označeno bilo kojim od sljedećih izraza: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Za funkcije s nekoliko varijabli definiramo parcijalni izvod. Parcijalni izvod funkcije s nekoliko varijabli je njen izvod u odnosu na jednu od tih varijabli, pod pretpostavkom da su ostale varijable konstante. Simbol parcijalnog izvoda je ∂.
Geometrijski derivacija funkcije može se tumačiti kao nagib krive funkcije ƒ(x).
Šta je Integral?
Integracija ili antidiferencijacija je obrnuti proces diferencijacije. Drugim riječima, to je proces pronalaženja originalne funkcije kada se daje derivacija funkcije. Dakle, integral ili antiderivat funkcije ƒ(x) ako je ƒ(x)=F (x) može se definirati kao funkcija F (x), za sve x u domeni ƒ(x).
Izraz ∫ƒ(x) dx označava izvod funkcije ƒ(x). Ako je ƒ(x)=F (x), onda je ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, gdje je C konstanta, ∫ƒ(x) dx se naziva neodređenim integralom ƒ(x).
Za bilo koju funkciju ƒ, koja nije nužno nenegativna i definirana na intervalu [a, b], a∫b ƒ(x) dx se naziva definitivnim integralom ƒ na [a, b].
Definitivni integral a∫bƒ(x) dx funkcije ƒ(x) može se geometrijski interpretirati kao površina područje ograničeno krivom ƒ(x), x-osom i linijama x=a i x=b.
Koja je razlika između izvedenog i integralnog?
• Derivat je rezultat diferencijacije procesa, dok je integral rezultat integracije procesa.
• Derivat funkcije predstavlja nagib krive u bilo kojoj tački, dok integral predstavlja površinu ispod krive.
