Razlika između Riemannovog i Lebesgueovog integrala

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 13:33

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integracija je glavna tema u računici. U širem smislu, integracija se može posmatrati kao obrnuti proces diferencijacije. Kada se modeliraju problemi iz stvarnog svijeta, lako je napisati izraze koji uključuju derivate. U takvoj situaciji, operacija integracije je potrebna da se pronađe funkcija koja je dala određeni izvod.

Iz drugog ugla, integracija je proces, koji sažima proizvod funkcije ƒ(x) i δx, gdje δx teži da bude određena granica. Zbog toga koristimo simbol integracije kao ∫. Simbol ∫ je zapravo ono što dobijamo rastezanjem slova s da se odnosi na zbir.

Riemann Integral

Razmotrimo funkciju y=ƒ(x). Integral y između a i b, gdje a i b pripadaju skupu x, zapisuje se kao _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). To se naziva definitivnim integralom jednovrijedne i kontinuirane funkcije y=ƒ(x) između a i b. Ovo daje površinu ispod krive između a i b. Ovo se još naziva i Riemannov integral. Riemann integral je kreirao Bernhard Riemann. Rimanov integral neprekidne funkcije je zasnovan na Jordanovoj meri, pa se takođe definiše kao granica Riemannove sume funkcije. Za funkciju realne vrijednosti definiranu na zatvorenom intervalu, Riemannov integral funkcije u odnosu na particiju x₁, x₂, …, x n _{definisano na intervalu [a, b] i t}1_{, t}2_{, …, t n}, gdje je x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 za svaki i ε {1, 2, …, n}, Rimanov zbir je definisan kao Σ_{i=o do n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue je još jedan tip integrala, koji pokriva širok spektar slučajeva nego Riemann integral. Lebesgueov integral je uveo Henri Lebesgue 1902. Legesgueova integracija se može smatrati generalizacijom Riemannove integracije.

Zašto trebamo proučavati još jedan integral?

Razmotrimo karakterističnu funkciju ƒ_{A (x)=}{_{0 ako, x nije ε A}^{1 ako, x ε A}na skupu A. Tada je konačna linearna kombinacija karakterističnih funkcija, koja je definirana kao F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) se naziva jednostavnom funkcijom ako je E} i _{mjerljivo za svaki i. Lebesgueov integral od F (x) nad E označen je sa} E_{∫ ƒ(x)dx. Funkcija F (x) nije Riemannova integrabilna. Stoga je Lebesgueov integral preformulisan Riemannov integral, koji ima neka ograničenja na funkcije koje treba integrirati.}

Koja je razlika između Riemann Integrala i Lebesgue Integrala?

· Lebesgueov integral je generalizacijski oblik Riemannovog integrala.

· Lebesgueov integral dozvoljava prebrojivu beskonačnost diskontinuiteta, dok Riemann integral dozvoljava konačan broj diskontinuiteta.