Slučajne varijable u odnosu na distribuciju vjerovatnoće
Statistički eksperimenti su nasumični eksperimenti koji se mogu ponavljati beskonačno sa poznatim skupom ishoda. I slučajne varijable i distribucije vjerovatnoće su povezane sa takvim eksperimentima. Za svaku slučajnu varijablu, postoji pridružena distribucija vjerovatnoće definirana funkcijom koja se zove kumulativna funkcija distribucije.
Šta je slučajna varijabla?
Slučajna varijabla je funkcija koja dodjeljuje numeričke vrijednosti ishodima statističkog eksperimenta. Drugim riječima, to je funkcija definirana iz uzorka prostora statističkog eksperimenta u skup realnih brojeva.
Na primjer, razmislite o nasumičnom eksperimentu bacanja novčića dvaput. Mogući ishodi su HH, HT, TH i TT (H – glave, T – priče). Neka je varijabla X broj glava posmatranih u eksperimentu. Tada X može uzeti vrijednosti 0, 1 ili 2, i to je slučajna varijabla. Ovdje će slučajna varijabla X mapirati skup S={HH, HT, TH, TT} (prostor uzorka) u skup {0, 1, 2} na takav način da se HH preslikava na 2, HT i TH su mapirani u 1, a TT je mapiran u 0. U notaciji funkcije, ovo se može napisati kao, X: S → R gdje je X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 i X(TT)=0.
Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane, shodno tome broj mogućih vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti je najviše prebrojiv ili ne. U prethodnom primjeru, slučajna varijabla X je diskretna slučajna varijabla pošto je {0, 1, 2} konačan skup. Sada razmotrite statistički eksperiment pronalaženja težine učenika u razredu. Neka je Y slučajna varijabla definirana kao težina učenika. Y može uzeti bilo koju realnu vrijednost unutar određenog intervala. Dakle, Y je kontinuirana slučajna varijabla.
Šta je distribucija vjerovatnoće?
Distribucija vjerovatnoće je funkcija koja opisuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla uzeti određene vrijednosti.
Funkcija koja se zove kumulativna funkcija distribucije (F) može se definirati iz skupa realnih brojeva u skup realnih brojeva kao F(x)=P(X ≤ x) (vjerovatnoća da je X manji od ili jednako x) za svaki mogući ishod x. Sada se kumulativna funkcija distribucije X u prvom primjeru može napisati kao F(a)=0, ako je a<0; F(a)=0,25, ako je 0≤a<1; F(a)=0,75, ako je 1≤a<2 i F(a)=1, ako je a≥2.
U slučaju diskretnih slučajnih varijabli, funkcija se može definirati iz skupa mogućih ishoda u skup realnih brojeva na način da je ƒ(x)=P(X=x) (vjerovatnoća X jednak x) za svaki mogući ishod x. Ova posebna funkcija ƒ naziva se funkcija mase vjerovatnoće slučajne varijable X. Sada se funkcija mase vjerovatnoće X u prvom konkretnom primjeru može napisati kao ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 i ƒ(x)=0 u suprotnom. Dakle, funkcija mase vjerovatnoće zajedno sa kumulativnom funkcijom raspodjele će opisati distribuciju vjerovatnoće X u prvom primjeru.
U slučaju kontinuiranih slučajnih varijabli, funkcija koja se zove funkcija gustoće vjerovatnoće (ƒ) može se definirati kao ƒ(x)=dF(x)/dx za svaki x gdje je F kumulativna funkcija distribucije kontinuirana slučajna varijabla. Lako je vidjeti da ova funkcija zadovoljava ∫ƒ(x)dx=1. Funkcija gustoće vjerovatnoće zajedno sa kumulativnom funkcijom raspodjele opisuje distribuciju vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable. Na primjer, normalna distribucija (koja je kontinuirana raspodjela vjerovatnoće) je opisana korištenjem funkcije gustoće vjerovatnoće ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Koja je razlika između slučajnih varijabli i distribucije vjerovatnoće?
• Slučajna varijabla je funkcija koja povezuje vrijednosti uzorka prostora sa realnim brojem.
• Distribucija vjerovatnoće je funkcija koja povezuje vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti s odgovarajućom vjerovatnoćom pojavljivanja.
