Funkcija distribucije vjerovatnoće vs funkcija gustoće vjerovatnoće
Vjerovatnoća je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi. Ova ideja je vrlo česta i često se koristi u svakodnevnom životu kada procjenjujemo naše mogućnosti, transakcije i mnoge druge stvari. Proširivanje ovog jednostavnog koncepta na veći skup događaja malo je izazovnije. Na primjer, ne možemo lako shvatiti šanse za dobitak na lutriji, ali je zgodno, prilično intuitivno, reći da postoji vjerovatnoća da će jedan od šest dobiti broj šest u bačenoj kocki.
Kada broj događaja koji se mogu odigrati postaje sve veći, ili je broj pojedinačnih mogućnosti velik, ova prilično jednostavna ideja vjerovatnoće ne uspijeva. Stoga mu se mora dati čvrsta matematička definicija prije nego što se pristupi problemima veće složenosti.
Kada je broj događaja koji se mogu odigrati u jednoj situaciji veliki, nemoguće je posmatrati svaki događaj pojedinačno kao u primjeru bačene kocke. Dakle, čitav niz događaja je sažet uvođenjem koncepta slučajne varijable. To je varijabla koja može preuzeti vrijednosti različitih događaja u toj konkretnoj situaciji (ili prostoru uzorka). Daje matematički smisao jednostavnim događajima u situaciji i matematički način rješavanja događaja. Preciznije, slučajna varijabla je funkcija stvarne vrijednosti nad elementima prostora uzorka. Slučajne varijable mogu biti diskretne ili kontinuirane. Obično se označavaju velikim slovima engleske abecede.
Funkcija distribucije vjerovatnoće (ili jednostavno, distribucija vjerovatnoće) je funkcija koja dodjeljuje vrijednosti vjerovatnoće za svaki događaj; tj. pruža odnos sa vjerovatnoćama za vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti. Funkcija distribucije vjerovatnoće je definirana za diskretne slučajne varijable.
Funkcija gustoće vjerovatnoće je ekvivalent funkcije raspodjele vjerovatnoće za kontinuirane slučajne varijable, daje vjerovatnoću da će određena slučajna varijabla poprimiti određenu vrijednost.
Ako je X diskretna slučajna varijabla, funkcija data kao f (x)=P (X=x) za svaki x unutar raspona X naziva se funkcija raspodjele vjerovatnoće. Funkcija može poslužiti kao funkcija distribucije vjerovatnoće ako i samo ako funkcija zadovoljava sljedeće uslove.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Funkcija f (x) koja je definirana preko skupa realnih brojeva naziva se funkcija gustoće vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, ako i samo ako, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx za bilo koje realne konstante a i b.
Funkcija gustine vjerovatnoće bi također trebala zadovoljiti sljedeće uslove.
1. f (x) ≥ 0 za sve x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
I funkcija distribucije vjerovatnoće i funkcija gustine vjerovatnoće se koriste za predstavljanje distribucije vjerovatnoća u prostoru uzorka. Obično se to zovu distribucije vjerovatnoće.
Za statističko modeliranje izvode se standardne funkcije gustoće vjerovatnoće i funkcije raspodjele vjerovatnoće. Normalna raspodjela i standardna normalna distribucija su primjeri kontinuiranih distribucija vjerovatnoće. Binomna distribucija i Poissonova distribucija su primjeri diskretnih distribucija vjerovatnoće.
Koja je razlika između distribucije vjerovatnoće i funkcije gustoće vjerovatnoće?
• Funkcija raspodjele vjerovatnoće i funkcija gustoće vjerovatnoće su funkcije definirane u prostoru uzorka, kako bi se dodijelila relevantna vrijednost vjerovatnoće svakom elementu.
• Funkcije raspodjele vjerovatnoće su definirane za diskretne slučajne varijable, dok su funkcije gustoće vjerovatnoće definirane za kontinuirane slučajne varijable.
• Distribuciju vrijednosti vjerovatnoće (tj. distribucije vjerovatnoće) najbolje opisuju funkcija gustine vjerovatnoće i funkcija distribucije vjerovatnoće.
• Funkcija raspodjele vjerovatnoće može se predstaviti kao vrijednosti u tabeli, ali to nije moguće za funkciju gustine vjerovatnoće jer je varijabla kontinuirana.
• Kada se iscrta, funkcija raspodjele vjerovatnoće daje trakasti dijagram, dok funkcija gustine vjerovatnoće daje krivu.
• Visina/dužina šipki funkcije raspodjele vjerovatnoće mora dodati 1, dok površina ispod krive funkcije gustine vjerovatnoće mora dodati 1.
• U oba slučaja, sve vrijednosti funkcije moraju biti ne-negativne.
