Ortogonalno vs Ortonormalno
U matematici, dvije riječi ortogonalno i ortonormalno se često koriste zajedno sa skupom vektora. Ovdje se izraz 'vektor' koristi u smislu da je to element vektorskog prostora – algebarska struktura koja se koristi u linearnoj algebri. Za našu diskusiju, razmotrićemo prostor unutrašnjeg proizvoda – vektorski prostor V zajedno sa unutrašnjim proizvodom definisanim na V.
Na primjer, za unutrašnji proizvod, prostor je skup svih 3-dimenzionalnih vektora položaja zajedno sa uobičajenim tačkastim proizvodom.
Šta je ortogonalno?
Neprazan podskup S unutrašnjeg prostora proizvoda V kaže se da je ortogonan, ako i samo ako je za svako različito u, v u S, [u, v]=0; tj. unutrašnji proizvod u i v jednak je nultom skalaru u prostoru unutrašnjeg proizvoda.
Na primjer, u skupu svih 3-dimenzionalnih vektora položaja, ovo je ekvivalentno tome da kažemo da su za svaki različiti par vektora položaja p i q u S, p i q okomiti jedan na drugi. (Zapamtite da je unutrašnji proizvod u ovom vektorskom prostoru tačkasti proizvod. Takođe, tačkasti proizvod dva vektora je jednak 0 ako i samo ako su dva vektora okomita jedan na drugi.)
Razmotrimo skup S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, koji je podskup 3-dimenzionalnih vektora položaja. Zapazite da je (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Dakle, skup S je ortogonan. Konkretno, kaže se da su dva vektora ortogonalna ako je njihov unutrašnji proizvod 0. Stoga je svaki par vektora u Sis ortogonalni.
Šta je ortonormalno?
Za neprazan podskup S unutrašnjeg prostora proizvoda V kaže se da je ortonormalan ako i samo ako je S ortogonan i za svaki vektor u u S, [u, u]=1. Prema tome, može se vidjeti da svaki ortonormalni skup je ortogonan ali ne i obrnuto.
Na primjer, u skupu svih 3-dimenzionalnih vektora položaja, ovo je ekvivalentno tome da se kaže da su za svaki različiti par vektora položaja p i q u S, p i q okomiti jedan na drugi, a za svako p u S, |p|=1. To je zato što se uslov [p, p]=1 svodi na p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, što je ekvivalentno |p |=1. Stoga, dat ortogonalni skup, uvijek možemo formirati odgovarajući ortonormalni skup dijeljenjem svakog vektora njegovom veličinom.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} je ortonormalni podskup skupa svih 3-dimenzionalnih vektora položaja. Lako je vidjeti da je dobiven dijeljenjem svakog od vektora u skupu S, njihovim veličinama.
Koja je razlika između ortogonalnog i ortonormalnog?
- Za neprazan podskup S unutrašnjeg prostora proizvoda V kaže se da je ortogonan, ako i samo ako je za svako različito u, v u S, [u, v]=0. Međutim, on je ortonormalan, ako i samo ako je dodatni uslov – za svaki vektor u u S, [u, u]=1 je zadovoljen.
- Svaki ortonormalni skup je ortogonan, ali ne i obrnuto.
- Svaki ortogonalni skup odgovara jedinstvenom ortonormalnom skupu, ali ortonormalni skup može odgovarati mnogim ortogonalnim skupovima.
