Hyperbola vs Ellipse
Kada se konus seče pod različitim uglovima, različite krive su označene ivicom konusa. Ove krive se često nazivaju konusnim presjecima. Preciznije, konusni presjek je kriva koja se dobije presjekom prave kružne konusne površine s ravnom površinom. Pod različitim uglovima preseka dati su različiti konusni preseci.
I hiperbola i elipsa su konusni presjeci, a njihove razlike se lako upoređuju u ovom kontekstu.
Više o Ellipse
Kada presjek površine konusa i ravne površine proizvede zatvorenu krivu, to je poznato kao elipsa. Ima ekscentricitet između nula i jedan (0<e<1). Također se može definirati kao geometrijsko mjesto skupa tačaka na ravni tako da zbir udaljenosti do tačke od dvije fiksne tačke ostaje konstantan. Ove dvije fiksne tačke poznate su kao 'žarišta'. (Zapamtite; u osnovnim časovima matematike elipse se crtaju pomoću niza vezanih za dve fiksne igle, ili petlje i dve igle.).
Segment linije koji prolazi kroz fokuse poznat je kao glavna osa, a os okomita na glavnu osu i koja prolazi kroz centar elipse poznata je kao mala osa. Prečnici duž svake ose su poznati kao poprečni prečnik i konjugatni prečnik, respektivno. Polovina velike ose je poznata kao velika poluos, a polovina male ose je poznata kao mala poluos.
Svaka tačka F1 i F2 su poznati kao fokusi elipse i dužine F1 + PF2 =2a, gde je P proizvoljna tačka na elipsi. Ekscentricitet e je definiran kao omjer između udaljenosti od fokusa do proizvoljne tačke (PF 2) i okomite udaljenosti do proizvoljne tačke od direktrise (PD). Također je jednako udaljenosti između dva žarišta i velike poluose: e=PF/PD=f/a
Opšta jednačina elipse, kada se velika poluos i mala poluos poklapaju sa kartezijanskim osama, data je na sledeći način.
x2/a2 + y2/b2=1
Geometrija elipse ima mnogo primjena, posebno u fizici. Orbite planeta u Sunčevom sistemu su eliptične sa Suncem kao jednim fokusom. Reflektori za antene i akustične uređaje napravljeni su u eliptičnom obliku kako bi se iskoristila činjenica da će se svaka emisija iz fokusa konvergirati na drugi fokus.
Više o Hyperbola
Hiperbola je takođe konusni presek, ali je otvorenog kraja. Termin hiperbola se odnosi na dvije nepovezane krive prikazane na slici. Umjesto da se zatvaraju poput elipse, krakovi ili grane hiperbole nastavljaju u beskonačnost.
Tačke u kojima dvije grane imaju najkraću udaljenost između sebe poznate su kao vrhovi. Prava koja prolazi kroz vrhove smatra se glavnom osom ili poprečnom osom, i to je jedna od glavnih osa hiperbole. Dva fokusa parabole takođe leže na velikoj osi. Sredina linije između dva vrha je centar, a dužina segmenta je velika poluosa. Okomita simetrala velike poluose je druga glavna os, a dvije krive hiperbole su simetrične oko ove ose. Ekscentricitet parabole je veći od jedan; e > 1.
Ako se glavne ose poklapaju sa dekartovskim osama, opšta jednačina hiperbole je oblika:
x2/a2 – y2/b2=1,
gdje je a glavna poluos a b udaljenost od centra do bilo kojeg fokusa.
Hiperbole sa otvorenim krajevima okrenutim prema x-osi poznate su kao hiperbole istok-zapad. Slične hiperbole se mogu dobiti i na y osi. One su poznate kao hiperbole y-ose. Jednačina za takve hiperbole ima oblik
y2/a2 – x2/b2=1
Koja je razlika između hiperbole i elipse?
• I elipse i hiperbola su konusni presjeci, ali elipsa je zatvorena kriva dok se hiperbola sastoji od dvije otvorene krive.
• Dakle, elipsa ima konačan opseg, ali hiperbola ima beskonačnu dužinu.
• Oba su simetrična oko svoje velike i male ose, ali je pozicija direktrise različita u svakom slučaju. U elipsi, leži izvan velike poluose, dok u hiperboli leži u velikoj polu-osi.
• Ekscentriciteti dva konusna preseka su različiti.
0 <eElipsa < 1
eHyperbola > 0
• Opća jednačina dvije krive izgleda isto, ali se razlikuju.
• Okomita simetrala velike ose siječe krivu u elipsi, ali ne i u hiperboli.
(Izvor slika: Wikipedia)
