Populacija u odnosu na uzorak standardne devijacije
U statistici, nekoliko indeksa se koristi za opisivanje skupa podataka koji odgovara njegovoj centralnoj tendenciji, disperziji i iskrivljenosti. Standardna devijacija je jedna od najčešćih mjera disperzije podataka iz centra skupa podataka.
Zbog praktičnih poteškoća, neće biti moguće koristiti podatke iz cijele populacije kada se hipoteza testira. Stoga koristimo vrijednosti podataka iz uzoraka da bismo zaključili o populaciji. U takvoj situaciji, oni se nazivaju estimatori jer procjenjuju vrijednosti parametara populacije.
Izuzetno je važno koristiti nepristrasne procjene u zaključivanju. Za procjenu se kaže da je nepristrasan ako je očekivana vrijednost tog procjenitelja jednaka parametru populacije. Na primjer, koristimo srednju vrijednost uzorka kao nepristrasnu procjenu srednje vrijednosti populacije. (Matematički se može pokazati da je očekivana vrijednost srednje vrijednosti uzorka jednaka srednjoj vrijednosti populacije). U slučaju procjene standardne devijacije populacije, standardna devijacija uzorka je također nepristrasan procjenitelj.
Šta je standardna devijacija populacije?
Kada se podaci iz cijele populacije mogu uzeti u obzir (na primjer u slučaju popisa), moguće je izračunati standardnu devijaciju stanovništva. Da bi se izračunala standardna devijacija populacije, prvo se izračunavaju odstupanja vrijednosti podataka od srednje vrijednosti populacije. Srednji kvadrat (kvadratna sredina) devijacija naziva se standardna devijacija populacije.
U odeljenju od 10 učenika, podaci o učenicima se mogu lako prikupiti. Ako se hipoteza testira na ovoj populaciji učenika, onda nema potrebe za korištenjem vrijednosti uzorka. Na primjer, izmjerene su težine 10 učenika (u kilogramima) 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 i 79. Tada je srednja težina deset ljudi (u kilogramima) (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, što je 71 (u kilogramima). Ovo je srednja vrijednost stanovništva.
Sada da bismo izračunali standardnu devijaciju populacije, izračunavamo odstupanja od srednje vrijednosti. Odgovarajuća odstupanja od srednje vrednosti su (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 i (79 – 71)=8. Zbir kvadrata devijacije je (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Standardna devijacija stanovništva je √(366/10)=6,05 (u kilogramima). 71 je tačna srednja težina učenika razreda i 6.05 je tačna standardna devijacija težine od 71.
Šta je standardna devijacija uzorka?
Kada se podaci iz uzorka (veličine n) koriste za procjenu parametara populacije, izračunava se standardna devijacija uzorka. Prvo se izračunavaju odstupanja vrijednosti podataka od srednje vrijednosti uzorka. Budući da se srednja vrijednost uzorka koristi umjesto srednje vrijednosti populacije (koja je nepoznata), uzimanje kvadratne sredine nije prikladno. Da bi se kompenzirala upotreba srednje vrijednosti uzorka, zbir kvadrata odstupanja se dijeli sa (n-1) umjesto sa n. Standardna devijacija uzorka je kvadratni korijen ovoga. U matematičkim simbolima, S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, gdje je S standardna devijacija uzorka, ẍ je srednja vrijednost uzorka, a xi su tačke podataka.
Sada pretpostavimo da su, u prethodnom primjeru, populacija učenici cijele škole. Tada će klasa biti samo uzorak. Ako se ovaj uzorak koristi u procjeni, standardna devijacija uzorka će biti √(366/9)=6.38 (u kilogramima) od 366 je podijeljeno sa 9 umjesto sa 10 (veličina uzorka). Činjenica koju treba primijetiti je da ovo nije zajamčeno da će biti tačna vrijednost standardne devijacije populacije. To je samo procjena.
Koja je razlika između standardne devijacije populacije i standardne devijacije uzorka?
• Standardna devijacija populacije je tačna vrijednost parametra koja se koristi za mjerenje disperzije od centra, dok je standardna devijacija uzorka nepristrasna procjena za nju.
• Standardna devijacija stanovništva se izračunava kada su poznati svi podaci za svaku pojedincu populacije. Inače, izračunava se standardna devijacija uzorka.
• Standardna devijacija stanovništva data je sa σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} gdje je µ srednja vrijednost populacije, a n veličina populacije, ali standardna devijacija uzorka je data sa S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} gdje je ẍ srednja vrijednost uzorka, a n veličina uzorka.
