Laplace vs Fourier Transforms
I Laplaceova transformacija i Fourierova transformacija su integralne transformacije, koje se najčešće koriste kao matematičke metode za rješavanje matematički modeliranih fizičkih sistema. Proces je jednostavan. Složeni matematički model se pretvara u jednostavniji, rješiv model korištenjem integralne transformacije. Kada je jednostavniji model riješen, primjenjuje se inverzna integralna transformacija, koja bi pružila rješenje originalnog modela.
Na primjer, pošto većina fizičkih sistema rezultira diferencijalnim jednadžbama, oni se mogu pretvoriti u algebarske jednačine ili u niže stepene lako rješive diferencijalne jednadžbe korištenjem integralne transformacije. Tada će rješavanje problema postati lakše.
Šta je Laplaceova transformacija?
S obzirom na funkciju f (t) realne varijable t, njena Laplaceova transformacija je definirana integralom [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (kad god postoji), što je funkcija kompleksne varijable s. Obično se označava sa L { f (t)}. Inverzna Laplaceova transformacija funkcije F (s) uzima se kao funkcija f (t) na način da je L { f (t)}=F (s), a uobičajenom matematičkom notacijom koju pišemo, L-1{ F (s)}=f (t). Inverzna transformacija se može učiniti jedinstvenom ako nulte funkcije nisu dozvoljene. Ova dva se mogu identifikovati kao linearni operatori definisani u funkcijskom prostoru, a takođe je lako videti da je L -1{ L { f (t)}}=f (t), ako nulte funkcije nisu dozvoljene.
Sljedeća tabela navodi Laplaceove transformacije nekih od najčešćih funkcija.
Šta je Fourierova transformacija?
Data funkcija f (t) realne varijable t, njena Laplaceova transformacija je definisana integralom [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (kad god postoji), i obično se označava sa F { f (t)}. Inverzna transformacija F -1{ F (α)} data je integralom [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fourierova transformacija je također linearna i može se smatrati operatorom definiranim u funkcijskom prostoru.
Upotrebom Fourierove transformacije, originalna funkcija se može napisati na sljedeći način pod uslovom da funkcija ima samo konačan broj diskontinuiteta i da je apsolutno integrabilna.
Koja je razlika između Laplaceove i Fourierove transformacije?
- Furierova transformacija funkcije f (t) je definirana kao [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], dok je njegova Laplaceova transformacija definirana kao [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourierova transformacija je definirana samo za funkcije definirane za sve realne brojeve, dok Laplaceova transformacija ne zahtijeva da se funkcija definira na skupu negativnih realnih brojeva.
- Fourierova transformacija je poseban slučaj Laplaceove transformacije. Može se vidjeti da se oba poklapaju za nenegativne realne brojeve. (tj. uzmi s u Laplasu kao iα + β gdje su α i β realni tako da je e β=1/ √(2ᴫ))
- Svaka funkcija koja ima Fourierovu transformaciju imat će Laplaceovu transformaciju, ali ne i obrnuto.
