Razlika između integracije i zbrajanja

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 13:33

Integracija vs sumiranje

U matematici iznad srednje škole, integracija i zbrajanje se često nalaze u matematičkim operacijama. Naizgled se koriste kao različiti alati iu različitim situacijama, ali dijele vrlo blisku vezu.

Više o sumiranju

Sumiranje je operacija sabiranja niza brojeva i operacija se često označava grčkim slovom velikog sigma Σ. Koristi se za skraćenje sumiranja i jednak je zbiru/zbiru niza. Često se koriste za predstavljanje niza, koji su u suštini beskonačni nizovi sažeti. Mogu se koristiti i za označavanje zbroja vektora, matrica ili polinoma.

Zbir se obično radi za raspon vrijednosti koje se mogu predstaviti općim pojmom, kao što je niz koji ima zajednički termin. Početna tačka i krajnja tačka sumiranja su poznate kao donja granica i gornja granica sumiranja, respektivno.

Na primjer, zbir niza a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n je a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n što se može lako predstaviti upotrebom sumacije kao ∑ _i=1 a_{i; i se zove indeks sumiranja.}

Mnoge varijacije se koriste za sumiranje na osnovu aplikacije. U nekim slučajevima, gornja i donja granica se mogu dati kao interval ili raspon, kao što je ∑_1≤i≤100 a_i i ∑_{i∈[1, 100]} a_i Ili se može dati kao skup brojeva kao što je ∑_i∈P a_{i, gdje je P definirani skup.}

U nekim slučajevima mogu se koristiti dva ili više sigma znakova, ali se mogu generalizirati na sljedeći način; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Takođe, sumiranje prati mnoga algebarska pravila. Pošto je ugrađena operacija sabiranje, mnoga uobičajena pravila algebre mogu se primijeniti na sam zbroj i na pojedinačne članove prikazane sumiranjem.

Više o integraciji

Integracija je definisana kao obrnuti proces diferencijacije. Ali u svom geometrijskom pogledu može se smatrati i kao područje zatvoreno krivom funkcije i osi. Stoga, izračunavanje površine daje vrijednost određenog integrala kao što je prikazano na dijagramu.

Izvor slike:

Vrijednost definitivnog integrala je zapravo zbir malih traka unutar krive i ose. Površina svake trake je visina × širina u tački na razmatranoj osi. Širina je vrijednost koju možemo izabrati, recimo ∆x. A visina je približno vrijednost funkcije u razmatranoj tački, recimo f (x_{i). Iz dijagrama je evidentno da što su trake manje, to bolje trake se uklapaju unutar ograničenog područja, a time i bolja aproksimacija vrijednosti.}

Dakle, općenito definitivni integral I, između tačaka a i b (tj. u intervalu [a, b] gdje je a<b), može se dati kao I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, gdje je n broj traka (n=(b-a)/∆x). Ovo zbrajanje površine može se lako predstaviti korišćenjem notacije sumiranja kao I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Pošto je aproksimacija bolja kada je ∆x manji, možemo izračunati vrijednost kada je ∆x→0. Stoga je razumno reći I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Kao generalizaciju iz gornjeg koncepta, možemo izabrati ∆x na osnovu razmatranog intervala indeksiranog sa i (odabir širine područja na osnovu pozicije). Tada dobijamo

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Ovo je poznato kao Reimannov integral funkcije f (x) u intervalu [a, b]. U ovom slučaju a i b su poznati kao gornja i donja granica integrala. Reimann integral je osnovni oblik svih metoda integracije.

U suštini, integracija je zbir površine kada je širina pravougaonika beskonačno mala.

Koja je razlika između integracije i zbrajanja?

• Zbrajanje je sabiranje niza brojeva. Obično se zbrajanje daje u ovom obliku ∑_i=1 a_{i kada su članovi u nizu imaju obrazac i mogu se izraziti korištenjem općih termina.}

• Integracija je u osnovi područje ograničeno krivom funkcije, osom i gornjom i donjom granicom. Ovo područje se može dati kao zbir mnogo manjih površina uključenih u ograničenu površinu.

• Sumiranje uključuje diskretne vrijednosti sa gornjim i donjim granicama, dok integracija uključuje kontinuirane vrijednosti.

• Integracija se može tumačiti kao poseban oblik sumiranja.

• U numeričkim metodama izračunavanja, integracija se uvijek izvodi kao sumiranje.