Diferencijalna jednačina vs diferencijalna jednačina
Prirodni fenomen može se matematički opisati funkcijama brojnih nezavisnih varijabli i parametara. Naročito kada su izraženi funkcijom prostornog položaja i vremena, to rezultira jednačinama. Funkcija se može promijeniti s promjenom nezavisnih varijabli ili parametara. Beskonačno mala promjena koja se dešava u funkciji kada se promijeni jedna od njenih varijabli naziva se derivat te funkcije.
Diferencijalna jednačina je svaka jednačina koja sadrži derivate funkcije kao i same funkcije. Jednostavna diferencijalna jednadžba je ona Njutnovog drugog zakona kretanja. Ako se predmet mase m kreće ubrzanjem 'a' i na njega djeluje sila F, onda nam drugi Newtonov zakon govori da je F=ma. Ovdje opet, 'a' varira s vremenom, možemo prepisati 'a' kao; a=dv/dt; v je brzina. Brzina je funkcija prostora i vremena, odnosno v=ds/dt; stoga 'a'=d2s/dt2
Imajući ovo na umu možemo prepisati Newtonov drugi zakon kao diferencijalnu jednačinu;
‘F’ kao funkcija v i t – F(v, t)=mdv/dt, ili
'F' kao funkcija s i t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Postoje dvije vrste diferencijalnih jednadžbi; obična diferencijalna jednadžba, skraćena ODE ili parcijalna diferencijalna jednačina, skraćena PDE. Obična diferencijalna jednadžba će u sebi imati obične derivate (derivacije samo jedne varijable). Parcijalna diferencijalna jednadžba će u sebi imati diferencijalne derivate (derivacije više od jedne varijable).
npr. F=m d2s/dt2 je ODE, dok je α2 d 2u/dx2=du/dt je PDE, ima derivate od t i x.
Diferencijalna jednačina je ista kao i diferencijalna jednačina, ali je gledamo u drugom kontekstu. U diferencijalnim jednačinama, nezavisna varijabla kao što je vrijeme razmatra se u kontekstu kontinuiranog vremenskog sistema. U diskretnom vremenskom sistemu, funkciju nazivamo kao razlika jednačina.
Jednačina razlike je funkcija razlika. Razlike u nezavisnim varijablama su tri vrste; niz brojeva, diskretni dinamički sistem i iterirana funkcija.
U nizu brojeva promjena se generiše rekurzivno koristeći pravilo da se svaki broj u nizu poveže sa prethodnim brojevima u nizu.
Diferencijalna jednačina u diskretnom dinamičkom sistemu uzima neki diskretni ulazni signal i proizvodi izlazni signal.
Razlika jednadžba je iterirana mapa za ponavljanu funkciju. Npr., y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….je niz iterirane funkcije. f(y0) je prva iteracija od y0 k-ta iteracija će biti označena sa fk (y0).
