Diskretna funkcija vs kontinuirana funkcija
Funkcije su jedna od najvažnijih klasa matematičkih objekata, koji se intenzivno koriste u gotovo svim podoblastima matematike. Kao što njihova imena sugeriraju, i diskretne funkcije i kontinuirane funkcije su dvije posebne vrste funkcija.
Funkcija je relacija između dva skupa definirana na takav način da je za svaki element u prvom skupu vrijednost koja mu odgovara u drugom skupu jedinstvena. Neka je f funkcija definirana iz skupa A u skup B. Tada za svaki x ϵ A, simbol f (x) označava jedinstvenu vrijednost u skupu B koja odgovara x. Zove se slika x pod f. Prema tome, relacija f iz A u B je funkcija, ako i samo ako za, svaki xϵ A i y ϵ A; ako je x=y onda je f (x)=f (y). Skup A se naziva domenom funkcije f, i to je skup u kojem je funkcija definirana.
Na primjer, razmotrite relaciju f iz R u R definiranu sa f (x)=x + 2 za svaki xϵ A. Ovo je funkcija čija je domena R, jer za svaki realni broj x i y, x=y implicira f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Ali odnos g iz N u N definisan sa g (x)=a, gde je 'a' prosti faktor od x nije funkcija kao g (6)=3, kao ni g (6)=2.
Šta je diskretna funkcija?
Diskretna funkcija je funkcija čija je domena najviše prebrojiva. Jednostavno, to znači da je moguće napraviti listu koja uključuje sve elemente domene.
Bilo koji konačni skup je najviše prebrojiv. Skup prirodnih brojeva i skup racionalnih brojeva primjeri su za najviše prebrojivih beskonačnih skupova. Skup realnih brojeva i skup iracionalnih brojeva nisu najviše prebrojivi. Oba skupa su nebrojiva. To znači da je nemoguće napraviti listu koja uključuje sve elemente tih skupova.
Jedna od najčešćih diskretnih funkcija je faktorska funkcija. f:N U{0}→N rekurzivno definisano sa f (n)=n f (n-1) za svako n ≥ 1 i f (0)=1 naziva se faktorijalna funkcija. Obratite pažnju da je njegova domena N U{0} najviše prebrojiva.
Šta je kontinuirana funkcija?
Neka je f funkcija takva da je za svako k u domeni f f (x)→ f (k) kao x → k. Tada je f kontinuirana funkcija. To znači da je moguće učiniti f (x) proizvoljno blizu f (k) tako što će x učiniti dovoljno blizu k za svako k u domeni f.
Razmotrimo funkciju f (x)=x + 2 na R. Može se vidjeti da kao x → k, x + 2 → k + 2 to je f (x)→ f (k). Prema tome, f je kontinuirana funkcija. Sada razmotrite g na pozitivnim realnim brojevima g (x)=1 ako je x > 0 i g (x)=0 ako je x=0. Zatim, ova funkcija nije kontinuirana funkcija jer granica za g (x) ne postoji (i stoga nije jednaka g (0)) kao x → 0.
Koja je razlika između diskretne i kontinuirane funkcije?
• Diskretna funkcija je funkcija čija je domena najviše prebrojiva, ali to ne mora biti slučaj u kontinuiranim funkcijama.
• Sve kontinuirane funkcije ƒ imaju svojstvo da je ƒ(x)→ƒ(k) kao x → k za svaki x i za svaki k u domeni ƒ, ali to nije slučaj u nekim diskretnim funkcijama.
