Paralelogram vs pravougaonik
Paralelogram i pravougaonik su četvorouglovi. Geometrija ovih figura bila je poznata ljudima hiljadama godina. Tema je eksplicitno obrađena u knjizi "Elementi" koju je napisao grčki matematičar Euklid.
Paralelogram
Paralelogram se može definisati kao geometrijska figura sa četiri strane, sa suprotnim stranama paralelnim jedna s drugom. Tačnije, to je četverougao sa dva para paralelnih stranica. Ova paralelna priroda daje mnoge geometrijske karakteristike paralelogramima.
Četvorokut je paralelogram ako se pronađu sljedeće geometrijske karakteristike.
• Dva para suprotnih strana su jednake po dužini. (AB=DC, AD=BC)
• Dva para suprotnih uglova jednaka su po veličini. ([lateks]D\šešir{A}B=B\šešir{C}D, A\šešir{D}C=A\šešir{B}C[/latex])
• Ako su susjedni uglovi dopunski [lateks]D\šešir{A}B + A\šešir{D}C=A\šešir{D}C + B\šešir{C}D=B\šešir {C}D + A\šešir{B}C=A\šešir{B}C + D\šešir{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Par stranica, koje su jedna drugoj suprotne, paralelne su i jednake po dužini. (AB=DC & AB∥DC)
• Dijagonale dijele jedna drugu na pola (AO=OC, BO=OD)
• Svaka dijagonala dijeli četverougao na dva podudarna trougla. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Dalje, zbir kvadrata strana jednak je zbiru kvadrata dijagonala. Ovo se ponekad naziva i zakon paralelograma i ima široku primjenu u fizici i inženjerstvu. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Svaka od gore navedenih karakteristika može se koristiti kao svojstva, nakon što se utvrdi da je četverougao paralelogram.
Površina paralelograma može se izračunati proizvodom dužine jedne strane i visine suprotne strane. Stoga se površina paralelograma može navesti kao
Površina paralelograma=baza × visina=AB×h
Oblast paralelograma je nezavisna od oblika pojedinačnog paralelograma. Zavisi samo od dužine baze i okomite visine.
Ako se strane paralelograma mogu predstaviti sa dva vektora, površina se može dobiti veličinom vektorskog proizvoda (unakrsnog proizvoda) dva susjedna vektora.
Ako su strane AB i AD predstavljene vektorima ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) i ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), respektivno, površina paralelogram je dat sa [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], gdje je α ugao između [lateksa]\overrightarrow{AB}[/latex] i [lateksa]\overrightarrow{AD}[/latex].
Slijede neka napredna svojstva paralelograma;
• Površina paralelograma je dvostruko veća od površine trougla stvorenog bilo kojom od njegovih dijagonala.
• Površina paralelograma je podijeljena na pola bilo kojom linijom koja prolazi kroz sredinu.
• Svaka nedegenerirana afina transformacija uzima paralelogram u drugi paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsku simetriju reda 2
• Zbir udaljenosti od bilo koje unutrašnje tačke paralelograma do strana ne zavisi od lokacije tačke
Pravougaonik
Četvorougao sa četiri prava ugla je poznat kao pravougaonik. To je poseban slučaj paralelograma gdje su uglovi između bilo koje dvije susjedne stranice pravi uglovi.
Pored svih svojstava paralelograma, dodatne karakteristike se mogu prepoznati kada se uzme u obzir geometrija pravougaonika.
• Svaki ugao na vrhovima je pravi ugao.
• Dijagonale su jednake po dužini i dijele se po pola. Prema tome, presjeci su također jednaki po dužini.
• Dužina dijagonala se može izračunati pomoću Pitagorine teoreme:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Formula površine se svodi na proizvod dužine i širine.
Površina pravougaonika=dužina × širina
• Mnoga simetrična svojstva nalaze se na pravokutniku, kao što je;
– Pravougaonik je cikličan, gde se svi vrhovi mogu postaviti na perimetar kruga.
– jednakougaona je, gdje su svi uglovi jednaki.
– Izogonalan je, gdje svi uglovi leže unutar iste orbite simetrije.
– Ima i refleksijsku i rotacijsku simetriju.
Koja je razlika između paralelograma i pravougaonika?
• Paralelogram i pravougaonik su četvorouglovi. Pravougaonik je poseban slučaj paralelograma.
• Površina bilo kojeg se može izračunati korištenjem formule baza × visina.
• Uzimajući u obzir dijagonale;
– Dijagonale paralelograma dijele jedna drugu popola i dijele paralelogram da formiraju dva podudarna trougla.
– Dijagonale pravougaonika su jednake po dužini i dijele se po pola; preseci su jednaki po dužini. Dijagonale dijele pravougaonik na dva podudarna pravougaona trougla.
• Uzimajući u obzir unutrašnje uglove;
– Suprotstavljeni unutrašnji uglovi paralelograma su jednaki po veličini. Dva susjedna unutrašnja ugla su dopunska
– Sva četiri unutrašnja ugla pravougaonika su pravi uglovi.
• Uzimajući u obzir strane;
– U paralelogramu, zbir kvadrata stranica jednak je zbiru kvadrata dijagonale (zakon paralelograma)
– U pravougaonicima, zbir kvadrata dveju susednih stranica jednak je kvadratu dijagonale na krajevima. (Pitagorino pravilo)
