Linearne vs nelinearne diferencijalne jednadžbe
Jednačina koja sadrži najmanje jedan diferencijalni koeficijent ili izvod nepoznate varijable poznata je kao diferencijalna jednačina. Diferencijalna jednadžba može biti linearna ili nelinearna. Cilj ovog članka je da objasni šta je linearna diferencijalna jednadžba, šta je nelinearna diferencijalna jednadžba i koja je razlika između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi.
Od razvoja računa u 18. veku od strane matematičara kao što su Newton i Leibnitz, diferencijalna jednačina je igrala važnu ulogu u priči o matematici. Diferencijalne jednadžbe su od velike važnosti u matematici zbog svoje primjene. Diferencijalne jednadžbe su u srcu svakog modela koji razvijamo kako bismo objasnili bilo koji scenario ili događaj u svijetu bilo da se radi o fizici, inženjerstvu, hemiji, statistici, finansijskoj analizi ili biologiji (lista je beskonačna). U stvari, sve dok račun nije postao uspostavljena teorija, odgovarajući matematički alati nisu bili dostupni za analizu zanimljivih problema u prirodi.
Rezultirajuće jednačine iz specifične primjene računa mogu biti vrlo složene i ponekad nerješive. Međutim, postoje one koje možemo riješiti, ali mogu izgledati slično i zbunjujuće. Stoga se radi lakše identifikacije diferencijalne jednadžbe kategoriziraju prema njihovom matematičkom ponašanju. Linearno i nelinearno je jedna takva kategorizacija. Važno je identificirati razliku između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina.
Šta je linearna diferencijalna jednačina?
Pretpostavimo da je f: X→Y i f(x)=y, diferencijalna jednadžba bez nelinearnih članova nepoznate funkcije y i njenih derivata poznata je kao linearna diferencijalna jednačina.
To nameće uslov da y ne može imati više indeksne termine kao što su y2, y3, … i višestruke derivate kao što su kao
Također ne može sadržavati nelinearne termine kao što su Sin y, e y ^-2 ili ln y. Ima oblik,
gdje su y i g funkcije od x. Jednačina je diferencijalna jednačina reda n, što je indeks izvoda najvišeg reda.
U linearnoj diferencijalnoj jednadžbi, diferencijalni operator je linearni operator i rješenja čine vektorski prostor. Kao rezultat linearne prirode skupa rješenja, linearna kombinacija rješenja je također rješenje diferencijalne jednadžbe. To jest, ako su y1 i y2 rješenja diferencijalne jednadžbe, onda C1 y 1+ C2 y2 je također rješenje.
Linearnost jednadžbe je samo jedan parametar klasifikacije, i dalje se može kategorizirati u homogene ili nehomogene i obične ili parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ako je funkcija g=0 onda je jednadžba linearna homogena diferencijalna jednadžba. Ako je f funkcija dvije ili više nezavisnih varijabli (f: X, T→Y) i f(x, t)=y, tada je jednadžba linearna parcijalna diferencijalna jednadžba.
Metoda rješenja diferencijalne jednadžbe ovisi o vrsti i koeficijentima diferencijalne jednadžbe. Najlakši slučaj nastaje kada su koeficijenti konstantni. Klasičan primjer za ovaj slučaj je drugi Newtonov zakon kretanja i njegove različite primjene. Njutnov drugi zakon proizvodi linearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima.
Šta je nelinearna diferencijalna jednačina?
Jednačine koje sadrže nelinearne termine poznate su kao nelinearne diferencijalne jednadžbe.
Sve gore su nelinearne diferencijalne jednadžbe. Nelinearne diferencijalne jednadžbe je teško riješiti, stoga je potrebno pažljivo proučavanje da bi se dobilo ispravno rješenje. U slučaju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, većina jednačina nema opće rješenje. Stoga se svaka jednačina mora tretirati nezavisno.
Navier-Stokesova jednadžba i Eulerova jednačina u dinamici fluida, Einsteinove jednačine polja opće relativnosti su dobro poznate nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ponekad primjena Lagrangeove jednadžbe na varijabilni sistem može rezultirati sistemom nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina.
Koja je razlika između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednačina?
• Diferencijalna jednačina, koja ima samo linearne članove nepoznate ili zavisne varijable i njene derivate, poznata je kao linearna diferencijalna jednačina. Nema termin sa zavisnom varijablom indeksa većim od 1 i ne sadrži višestruke njegove derivate. Ne može imati nelinearne funkcije kao što su trigonometrijske funkcije, eksponencijalne funkcije i logaritamske funkcije u odnosu na zavisnu varijablu. Svaka diferencijalna jednadžba koja sadrži gore navedene pojmove je nelinearna diferencijalna jednačina.
• Rješenja linearnih diferencijalnih jednačina stvaraju vektorski prostor, a diferencijalni operator je također linearni operator u vektorskom prostoru.
• Rješenja linearnih diferencijalnih jednadžbi su relativno lakša i postoje opća rješenja. Za nelinearne jednačine, u većini slučajeva, opšte rješenje ne postoji i rješenje može biti specifično za problem. To čini rješenje mnogo težim od linearnih jednačina.
