Razlika između binomne i normalne distribucije

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 13:33

binomna vs normalna distribucija

Distribucije vjerovatnoće slučajnih varijabli igraju važnu ulogu u polju statistike. Od tih distribucija vjerovatnoće, binomna distribucija i normalna distribucija su dvije od onih koje se najčešće javljaju u stvarnom životu.

Šta je binomna distribucija?

Binomijalna distribucija je raspodjela vjerovatnoće koja odgovara slučajnoj varijabli X, što je broj uspjeha konačnog niza nezavisnih eksperimenata da/ne od kojih svaki ima vjerovatnoću uspjeha p. Iz definicije X, vidljivo je da je to diskretna slučajna varijabla; stoga je i binomna distribucija diskretna.

Distribucija je označena kao X ~ B (n, p) gdje je n broj eksperimenata, a p vjerovatnoća uspjeha. Prema teoriji vjerovatnoće, možemo zaključiti da B (n, p) prati funkciju mase vjerovatnoće [lateks] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Iz ove jednačine se dalje može zaključiti da je očekivana vrijednost X, E(X)=np i varijansa X, V(X)=np (1- p).

Na primjer, razmislite o nasumičnom eksperimentu bacanja novčića 3 puta. Definirajte uspjeh kao postizanje H, neuspjeh kao dobivanje T i slučajnu varijablu X kao broj uspjeha u eksperimentu. Tada je X ~ B (3, 0,5) i funkcija mase vjerovatnoće za X data sa [lateks] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/lateks]. Stoga je vjerovatnoća dobijanja najmanje 2 H-a P(X ≥ 2)=P (X=2 ili X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0.5²)(0.5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Šta je normalna distribucija?

Normalna distribucija je kontinuirana raspodjela vjerovatnoće definisana funkcijom gustine vjerovatnoće, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Parametri [latex] \mu i \\sigma [/latex] označavaju srednju vrijednost i standardnu devijaciju populacije od interesa. Kada je [latex] \mu=0 i \\sigma=1 [/latex] distribucija se naziva standardna normalna distribucija.

Ova raspodjela se naziva normalnom jer većina prirodnih pojava prati normalnu distribuciju. Na primjer, IQ ljudske populacije je normalno raspoređen. Kao što se vidi iz grafikona, on je unimodalan, simetričan u odnosu na sredinu i zvonastog oblika. Srednja vrijednost, mod i medijan se poklapaju. Područje ispod krive odgovara dijelu stanovništva, koji zadovoljava dati uslov.

Dijelovi stanovništva u intervalu [lateks] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [lateks] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [lateks] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] su približno 68,2%, 95,6% i 99,8% odnosno.

Koja je razlika između binomne i normalne distribucije?

• Binomijalna distribucija je diskretna distribucija vjerovatnoće dok je normalna distribucija kontinuirana.
• Funkcija mase vjerovatnoće binomne distribucije je [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], dok je funkcija gustine vjerovatnoće normalne distribucije [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Binomijalna distribucija je aproksimirana normalnom distribucijom pod određenim uslovima, ali ne i obrnuto.