Razlika između aritmetičke sekvence i geometrijske sekvence

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-17 23:26

Aritmetička sekvenca vs geometrijska sekvenca

Proučavanje obrazaca brojeva i njihovog ponašanja važna je studija u oblasti matematike. Često se ovi obrasci mogu vidjeti u prirodi i pomažu nam da objasnimo njihovo ponašanje sa znanstvenog stanovišta. Aritmetički nizovi i geometrijski nizovi su dva osnovna obrasca koji se javljaju u brojevima i često se nalaze u prirodnim fenomenima.

Sekvenca je skup naređenih brojeva. Broj elemenata u nizu može biti konačan ili beskonačan.

Više o aritmetičkom nizu (aritmetrijska progresija)

Aritmetički niz je definisan kao niz brojeva sa konstantnom razlikom između svakog uzastopnog člana. Poznata je i kao aritmetička progresija.

Aritmetička sekvenca ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; gdje a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, i tako dalje.}

Ako je početni termin a₁ i zajednička razlika je d, tada je n^{th član niza dat sa;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Daljnjim uzimanjem gornjeg rezultata, n^{th termin se može dati i kao;}

a_n =a_m + (n-m)d, gdje je a_{m nasumični pojam u nizu tako da n > m.}

Skup parnih brojeva i skup neparnih brojeva su najjednostavniji primjeri aritmetičkih nizova, gdje svaki niz ima zajedničku razliku (d) od 2.

Broj pojmova u nizu može biti beskonačan ili konačan. U beskonačnom slučaju (n → ∞), niz teži beskonačnosti u zavisnosti od zajedničke razlike (a_{n → ±∞). Ako je zajednička razlika pozitivna (d > 0), niz teži pozitivnoj beskonačnosti, a ako je zajednička razlika negativna (d < 0), teži negativnoj beskonačnosti. Ako su članovi konačni, niz je također konačan.}

Zbir članova u aritmetičkom nizu poznat je kao aritmetički niz: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{i S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] daje vrijednost serija (S}n)

Više o geometrijskom nizu (geometrijska progresija)

Geometrijski niz je definiran kao niz u kojem je količnik bilo koja dva uzastopna člana konstanta. Ovo je također poznato kao geometrijska progresija.

Geometrijski niz ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; gdje je a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, i tako dalje, gdje je r realan broj.}

Lakše je predstaviti geometrijski niz koristeći zajednički omjer (r) i početni termin (a). Otuda geometrijski niz ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Opšti oblik n^th pojmova datih od a_n =a₁r ^n-1. (Gubi se indeks početnog izraza ⇒ a_n =ar^n-1)

Geometrijski niz također može biti konačan ili beskonačan. Ako je broj članova konačan, za niz se kaže da je konačan. A ako su pojmovi beskonačni, niz može biti beskonačan ili konačan ovisno o omjeru r. Uobičajeni omjer utiče na mnoga svojstva u geometrijskim nizovima.

r > o	0 < r < +1	Slijed konvergira – eksponencijalni raspad, tj. an → 0, n → ∞
	r=1	Konstantni niz, tj. an=konstanta
	r > 1	Slijed se razilazi – eksponencijalni rast, tj. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Slijed oscilira, ali konvergira
	r=1	Sekvenca je naizmjenična i konstantna, tj. an=±konstantna
	r < -1	Sekvenca se naizmjenična i razilazi. tj. an → ±∞, n → ∞
r=0	Niz je niz nula

N. B: U svim gore navedenim slučajevima, a₁ > 0; ako a₁ < 0, znaci koji se odnose na a_{n će biti obrnuti.}

Vremenski interval između odbijanja lopte prati geometrijski niz u idealnom modelu, i to je konvergentni niz.

Zbir članova geometrijskog niza poznat je kao geometrijski niz; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Zbir geometrijskog niza može se izračunati korištenjem sljedeće formule.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); gdje je a početni član, a r omjer.}

Ako je omjer, r ≤ 1, niz konvergira. Za beskonačan niz, vrijednost konvergencije je data sa S_n=a/(1-r)

Koja je razlika između aritmetičkog i geometrijskog niza/progresije?

• U aritmetičkom nizu, bilo koja dva uzastopna člana imaju zajedničku razliku (d), dok, u geometrijskom nizu, bilo koja dva uzastopna člana imaju konstantan količnik (r).

• U aritmetičkom nizu, varijacija pojmova je linearna, tj. može se povući prava linija koja prolazi kroz sve tačke. U geometrijskom nizu, varijacija je eksponencijalna; raste ili propada na osnovu uobičajenog omjera.

• Svi beskonačni aritmetički nizovi su divergentni, dok beskonačni geometrijski nizovi mogu biti ili divergentni ili konvergentni.

• Geometrijski niz može pokazati oscilaciju ako je omjer r negativan dok aritmetički niz ne prikazuje oscilaciju