Asocijativno vs komutativno
U našem svakodnevnom životu, moramo koristiti brojeve kad god trebamo nešto izmjeriti. U prodavnici, na benzinskoj pumpi, pa čak i u kuhinji, treba da saberemo, oduzmemo i pomnožimo dve ili više količina. Iz naše prakse ove proračune izvodimo prilično bez napora. Nikada ne primjećujemo niti postavljamo pitanje zašto ove operacije izvodimo na ovaj poseban način. Ili zašto se ovi proračuni ne mogu uraditi na drugačiji način. Odgovor se krije u načinu na koji su ove operacije definisane u matematičkom polju algebre.
U algebri, operacija koja uključuje dvije veličine (kao što je sabiranje) je definirana kao binarna operacija. Preciznije, to je operacija između dva elementa iz skupa i ti se elementi nazivaju 'operand'. Mnoge operacije u matematici uključujući aritmetičke operacije spomenute ranije i one koje se susreću u teoriji skupova, linearnoj algebri i matematičkoj logici mogu se definirati kao binarne operacije.
Postoji skup pravila koja se odnose na određenu binarnu operaciju. Asocijativna i komutativna svojstva su dva fundamentalna svojstva binarnih operacija.
Više o komutativnom svojstvu
Pretpostavimo da se neka binarna operacija, označena simbolom ⊗, izvodi na elementima A i B. Ako redoslijed operanada ne utječe na rezultat operacije, tada se kaže da je operacija komutativna. tj. ako je A ⊗ B=B ⊗ A onda je operacija komutativna.
Aritmetičke operacije sabiranja i množenja su komutativne. Redoslijed brojeva zbrojenih ili pomnoženih ne utiče na konačni odgovor:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Ali u slučaju dijeljenja promjena u redoslijedu daje recipročnu vrijednost drugog, a kod oduzimanja promjena daje negativnu vrijednost drugog. Stoga, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 i 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 i 5 ÷ 4=1,25 [u ovom slučaju A, B ≠ 1 i 0
U stvari, kaže se da je oduzimanje antikomutativno; gdje je A – B=– (B – A).
Također, logički spojevi, konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija su takođe komutativni. Funkcije istine su također komutativne. Unija operacija skupa i presjek su komutativni. Sabiranje i skalarni proizvod vektora su također komutativni.
Ali vektorsko oduzimanje i vektorski proizvod nisu komutativni (vektorski proizvod dva vektora je antikomutativan). Matrično sabiranje je komutativno, ali množenje i oduzimanje nisu komutativno.(Množenje dvije matrice može biti komutativno u posebnim slučajevima, kao što je množenje matrice s njenom inverznom ili matricom identiteta; ali definitivno matrice nisu komutativne ako matrice nisu iste veličine)
Više o asocijativnoj svojini
Za binarnu operaciju se kaže da je asocijativna ako redoslijed izvršenja ne utječe na rezultat kada su prisutna dva ili više pojavljivanja operatora. Razmotrimo elemente A, B i C i binarnu operaciju ⊗. Za operaciju ⊗ se kaže da je asocijativna ako je
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Od osnovnih aritmetičkih funkcija, samo zbrajanje i množenje su asocijativni.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Oduzimanje i dijeljenje nisu asocijativni;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 i (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 i (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Logički spojevi disjunkcija, konjunkcija i ekvivalencija su asocijativni, kao i unija i presek operacija skupa. Matrica i zbrajanje vektora su asocijativni. Skalarni proizvod vektora je asocijativan, ali vektorski proizvod nije. Množenje matrice je asocijativno samo pod posebnim okolnostima.
Koja je razlika između komutativnog i asocijativnog svojstva?
• I asocijativno svojstvo i komutativno svojstvo su posebna svojstva binarnih operacija, i neke ih zadovoljavaju, a neke ne.
• Ova svojstva se mogu vidjeti u mnogim oblicima algebarskih operacija i drugih binarnih operacija u matematici, kao što su presjek i unija u teoriji skupova ili logičke veze..
• Razlika između komutativnog i asocijativnog je u tome što komutativno svojstvo kaže da redoslijed elemenata ne mijenja konačni rezultat dok asocijativno svojstvo navodi da redoslijed kojim se operacija izvodi ne utječe na konačni odgovor.
