Međusobno isključivi naspram nezavisnih događaja
Ljudi često brkaju koncept međusobno isključivih događaja sa nezavisnim događajima. U stvari, to su dvije različite stvari.
Neka su A i B bilo koja dva događaja povezana sa slučajnim eksperimentom E. P(A) se naziva “Vjerovatnoća A”. Slično, možemo definirati vjerovatnoću B kao P(B), vjerovatnoću A ili B kao P(A∪B), a vjerovatnoću A i B kao P(A∩B). Tada je P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Međutim, za dva događaja se kaže da se međusobno isključuju ako pojava jednog događaja ne utiče na drugi. Drugim riječima, ne mogu se pojaviti istovremeno. Prema tome, ako se dva događaja A i B međusobno isključuju, onda je A∩B=∅ i stoga, to implicira P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Neka su A i B dva događaja u uzorkom prostoru S. Uslovna vjerovatnoća A, s obzirom da se B dogodilo, označena je sa P(A | B) i definirana je kao; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), pod uslovom P(B)>0. (inače nije definisano.)
Za događaj A se kaže da je nezavisan od događaja B, ako na vjerovatnoću da se A dogodi ne utiče da li se B dogodio ili ne. Drugim riječima, ishod događaja B nema utjecaja na ishod događaja A. Dakle, P(A | B)=P(A). Slično, B je nezavisan od A ako je P(B)=P(B | A). Dakle, možemo zaključiti da ako su A i B nezavisni događaji, onda je P(A∩B)=P(A). P(B)
Pretpostavimo da je numerisana kocka bačena i pošten novčić. Neka je A događaj da se dobije glava, a B događaj da se kotrlja paran broj. Tada možemo zaključiti da su događaji A i B nezavisni, jer taj ishod jednog ne utiče na ishod drugog. Dakle, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Pošto P(A∩B)≠0, A i B se ne mogu međusobno isključivati.
Pretpostavimo da urna sadrži 7 bijelih klikera i 8 crnih klikera. Definirajte događaj A kao crtanje bijelog mramora, a događaj B kao crtanje crnog mramora. Pod pretpostavkom da će svaki kliker biti zamijenjen nakon što zabilježimo njegovu boju, tada će P(A) i P(B) uvijek biti isti, bez obzira koliko puta izvučemo iz urne. Zamjena kuglica znači da se vjerovatnoće ne mijenjaju od izvlačenja do izvlačenja, bez obzira koju smo boju odabrali na posljednjem izvlačenju. Dakle, događaj A i B su nezavisni.
Međutim, ako su klikeri nacrtani bez zamjene, onda se sve mijenja. Pod ovom pretpostavkom, događaji A i B nisu nezavisni. Crtanje bijelog mramora prvi put mijenja vjerovatnoću za crtanje crnog mramora pri drugom izvlačenju i tako dalje. Drugim riječima, svako izvlačenje ima utjecaj na sljedeće izvlačenje, tako da pojedinačna izvlačenja nisu nezavisna.
Razlika između međusobno isključivih i nezavisnih događaja
– Međusobna isključivost događaja znači da nema preklapanja između skupova A i B. Nezavisnost događaja znači da događaj A ne utiče na dešavanje B.
– Ako se dva događaja A i B međusobno isključuju, tada je P(A∩B)=0.
– Ako su dva događaja A i B nezavisna, tada je P(A∩B)=P(A). P(B)
