Cardinal vs Ordinal
U našem svakodnevnom životu, upotreba brojeva može imati različite oblike u različitim situacijama. Na primjer, kada brojimo da bismo odredili veličinu kolekcije objekata, brojimo ih kao jedan, dva, tri itd. Kada želimo nešto izbrojati da bismo dobili osjećaj položaja objekata, računamo ih kao prvi, drugi, treći itd. U prvom obliku brojanja za brojeve se kaže da su kardinalni brojevi. U drugom obliku brojanja, brojevi se smatraju rednim brojevima. U tom kontekstu, pojmovi kardinal i ordinal u potpunosti su stvar lingvistike; kardinalni i redni su pridjevi.
Međutim, proširenje koncepta na skupove u matematici otkriva mnogo dublju i širu perspektivu i ne može se tretirati jednostavnim terminima. U ovom članku ćemo pokušati razumjeti osnovne koncepte kardinalnih i rednih brojeva u matematici.
Formalne definicije kardinalnih i rednih brojeva date su u teoriji skupova. Definicije su zamršene i za njihovo razumijevanje u savršenom smislu potrebno je osnovno znanje iz teorije skupova. Stoga ćemo se osvrnuti na nekoliko primjera, kako bismo heuristički razumjeli koncepte.
Razmotrite dva seta {1, 3, 6, 4, 5, 2} i {autobus, auto, trajekt, voz, avion, helikopter}. Svaki skup navodi skup elemenata, a ako izbrojimo broj elemenata vidljivo je da svaki ima isti broj elemenata, a to je 6. Dolazeći do ovog zaključka uzeli smo veličinu jednog skupa i uporedili ga s drugim pomoću broj. Takav broj se zove kardinalni broj. Stoga možemo reći da je kardinalni broj broj koji možemo koristiti za upoređivanje veličine konačnih skupova.
Ponovo se prvi skup brojeva može rasporediti u rastućem redoslijedu s obzirom na veličinu svakog elementa i upoređujući ih. U procesu naručivanja, brojevi se smatraju kardinalima. Slično, skup svih nenegativnih cijelih brojeva može biti uređen u skup; tj. {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Ali u ovom slučaju, veličina skupa postaje beskonačna i davanje u terminima ordinala nije moguće. Bez obzira na to koliko veliki broj odaberete da date veličinu skupa, ipak će ostati brojevi izvan skupa koji odaberete i koji su nenegativni cijeli brojevi.
Stoga, matematičari definišu ovaj beskonačni kardinal (koji je prvi) kao Aleph-0, napisan kao א (prvo slovo u hebrejskom alfabetu). Formalno, redni broj je tip reda dobro uređenog skupa. Stoga se redni broj konačnih skupova može dati kardinalnim brojevima, ali za beskonačne skupove redni broj je dat transfinitnim brojevima kao što je Aleph-0.
Koja je razlika između kardinalnih i rednih brojeva?
• Kardinalni broj je broj koji se može koristiti za brojanje ili za davanje veličine konačno uređenog skupa. Svi kardinalni brojevi su redni.
• Redni brojevi su brojevi koji se koriste za davanje veličine i konačnih i beskonačnih uređenih skupova. Veličina konačno uređenih skupova data je uobičajenim hindu-arapskim algebarskim brojevima, a beskonačna veličina skupa data je transfinitnim brojevima.
